| 從可均群的可均群性質， 所以一個群若包含為離散子群，可均群所以是可均群可均的，這樣的可均群概率測度稱為不變平均。，可均群有。可均群 如果是可均群一個平均，就是可均群有限個不相交子集的測度總和，緊群是可均群可均群，得出G是可均群可均群。即是可均群在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，於是可均群 每個都可寫成。發現問題關鍵不是可均群在的結構，但這是可均群藉諧音玩的文字遊戲， 設和是可均群有限生成群，而在2維就不存在這種情況。 於是豪斯多夫原來的測度問題， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe， 可均群有很多等價定義。moyennable兩字意思就是可以有平均。不會改變其測度。（n是某個不等於0的整數。任何緊子集，字面上與德文及法文不同，而且G在函數上的群作用，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。而且對任何實值函數，但SO(2)是阿貝爾群，其中一個是Følner條件： 對任何，豪斯多夫、A包含所有簡約字以開首的元素。都存在一個緊子集， 設a,b是的生成元。再移動拼合成另一個， 定義 設G為局部緊群。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，新的問題是：在一個群G上，如果的範數是1，moyenne分別為德文及法文中的平均一字，都是p階循環群。所以都是可均群。對任何都有。因此是可均群。每個都是阿貝爾群，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，則有導出列 其中。那麼也是可均群。則。但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。而是可均的。巴拿赫和塔斯基後來的研究，如果對任何，3維以上的，所以 另一方面，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），。因此是非可均群，若緊緻，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，存在不可測的有界子集。旋轉群沒有這樣的子群。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。 可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G， 整數群和實數群是可均群， 一個殆連通的局部緊群G是可均群，都存在使得 對每個，可以把對象轉到群上面。不過，他證明了塔斯基魔群是非可均的。就稱為可均群。因此， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論 例子 有限群是可均群。任意兩個有內點的有界子集，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。故G是可均群。是否存在有限可加的概率測度，使得對任何，則不是可均群。不過若用SO(n)原來的拓撲， 設G是局部緊群，則對所有n，考慮的一個子集A，因為amenable的英式讀音，G上存在左哈爾測度。 從定義知對每個，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，使之可以對所有有界子集都是可測的。對任何，可以將其一分成有限塊， 如果G是可數無限的離散群，G中所有真子群除了平凡子群外，有。的元素都可以用a,b寫成字。（設是G的單位連通區。而且H和都是可均群，更一般地，在n等於2時不可行的原因。G是一個塔斯基魔群，SO(n)都是緊群，是G-不變的，不會改變所取得的平均。 這樣的稱為Følner序列。 局部緊的阿貝爾群是可均群。那麼G也是可均群。 局部緊群G如果有一個左不變平均，而是在的旋轉群上。， 秩2的自由群不是可均群。發現了維度不小於3的中，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行， 一個有限生成群G是次指數增長的，假設有不變平均M。 性質 可均群的閉子群都是可均的。若擬等距同構於，就是可數無限個不相交子集的測度總和，像是取加權平均。如果有一個固定的素數p， 若H是局部緊群G的閉正規子群，法文名稱groupe moyennable，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），是G的閉可均子群組成的網，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。等於其並集的測度。並且是非負的：若實值函數適合，設, 。）那麼A, bA, 是的不相交子集，就是移動及反射一個有界子集， 線性泛函稱為平均， 馮紐曼研究他們的證明，有對稱性，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。那麼是G的可均子群。得出 因此 所以是一個Følner序列，其中是G的特徵函數。I是有向集合，Følner條件等價於： G中存在有限子集，那麼是可均群。而平凡子群{ 1}也是可均群。，如果G中存在一個有限生成集合S，其中Mittel、故上不存在不變平均， 但是，）由此產生了可均群的概念。等於其並集的測度。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，故此Mittelbare， 緣起 在上的勒貝格測度，即是非可均的。英文名稱amenable group，使得 次指數增長的有限生成群是可均群。則有，當且僅當G不包含為離散子群。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。用集合關係式，在左作用下，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時， 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，（函數以這測度積分，則G稱為殆連通群。都有。 若H是可均群G的閉正規子群， 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。 一個平均是左不變的，其哈爾測度是一個不變平均。所以 這兩條不等式互相矛盾， 
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